エキゾチック・オプション
解析解のない世界へ

シリーズ第3回（応用編）です。基本編・速度編で扱ったヨーロピアン・オプションは 満期の株価だけで価格が決まり、Black-Scholes解析解という"答え"がありました。 今回は、株価が満期までにどう動いたか（経路）に依存するエキゾチック・オプションを扱います。

エキゾチック・オプションとは、標準的なヨーロピアン/アメリカンとは違う、 特殊な条件を持つオプションの総称です。本記事では代表的な2種を扱います。

基本編では満期株価を1ステップで一気に計算しました。 しかし経路依存オプションでは、満期までの株価の動きを細かいステップに分けて追う必要があります。

// 各スレッドが1本の経路を最初から最後までシミュレーション
@compute @workgroup_size(64)
fn main(@builtin(global_invocation_id) gid: vec3u) {
  let pathId = gid.x;
  if (pathId >= p.numPaths) { return; }

  let dt = p.t / f32(p.steps);
  let drift = (p.r - 0.5 * p.sigma * p.sigma) * dt;
  let volStep = p.sigma * sqrt(dt);

  var s = p.s0;        // 現在の株価
  var sumS = 0.0;     // アジアン用：株価の累積
  var hitBarrier = false;  // バリア用：接触フラグ

  // ステップごとに株価を1歩ずつ進める
  for (var step = 0u; step < p.steps; step = step + 1u) {
    // ステップ固有のシードで乱数生成
    let z = randNormal(pathId * p.steps + step + p.seed);
    s = s * exp(drift + volStep * z);  // 幾何ブラウン運動
    sumS = sumS + s;
    if (s >= p.barrier) { hitBarrier = true; }
  }

ハイライト部分が応用編の核心です。基本編の「1ステップで満期へジャンプ」と違い、 for ループで株価を1歩ずつ進めます。 ループ内で sumS（平均用の累積）と hitBarrier（接触判定）を更新し続けるのがポイントです。

  // 経路の集計値からペイオフを決定
  var payoff = 0.0;

  if (p.optType == 0u) {        // ヨーロピアン：満期株価
    payoff = max(s - p.k, 0.0);
  } else if (p.optType == 1u) { // アジアン：平均株価
    let avgS = sumS / f32(p.steps);
    payoff = max(avgS - p.k, 0.0);
  } else {                     // バリア：接触で発生/消滅
    let vanilla = max(s - p.k, 0.0);
    if (p.isKnockOut > 0.5) {
      // ノックアウト：触れたら無効
      payoff = select(vanilla, 0.0, hitBarrier);
    } else {
      // ノックイン：触れたら有効
      payoff = select(0.0, vanilla, hitBarrier);
    }
  }
  payoffs[pathId] = payoff;
}

WGSLの select(a, b, cond) は三項演算子のような関数で、 cond が true なら b、false なら a を返します。 バリアの「接触したか」で支払いが変わる条件分岐を、分岐命令なしで書けます。 GPUでは分岐のダイバージェンス（スレッド間で分岐が割れること）を避けると効率的です。

// 各ステップで独立した乱数が必要
// シードに「ステップ番号」を混ぜることで実現
let z = randNormal(pathId * p.steps + step + p.seed);
            //          ↑ パスごと   ↑ ステップごと

// もし step を混ぜ忘れると…
// 全ステップで同じ乱数 → 株価が一直線に動く（経路にならない）

経路生成では各ステップで異なる乱数が必須です。 シードに pathId * steps + step を使うことで、 全パス・全ステップでユニークな乱数列を保証します。 step を混ぜ忘れると全ステップで同じ乱数になり、経路がギザギザにならず一直線になってしまいます。